周の長さが1の正$n$角形（$n \ge 3$）がある。その面積を$S_n$とする。 (1) この正$n$角形の外接円の半径を$n$の式で表す。 (2) $S_n$を$n$の式で表し、$\lim_{n \to \infty} S_n$を求める。

1. 問題の内容

周の長さが1の正$n$角形（$n \ge 3$）がある。その面積を$S_n$とする。

(1) この正$n$角形の外接円の半径を$n$の式で表す。

(2) $S_n$を$n$の式で表し、$\lim_{n \to \infty} S_n$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正$n$角形の1辺の長さを$a$とする。周の長さが1なので、$na=1$、つまり$a=\frac{1}{n}$である。正$n$角形の中心から頂点までの距離が外接円の半径$R$である。正$n$角形の中心角は$\frac{2\pi}{n}$であり、これを二等分する角度は$\frac{\pi}{n}$である。$\frac{a}{2} = R \sin{\frac{\pi}{n}}$が成り立つので、$R = \frac{a}{2\sin{\frac{\pi}{n}}}$となる。$a=\frac{1}{n}$を代入すると、$R = \frac{1}{2n\sin{\frac{\pi}{n}}}$である。

(2) 正$n$角形の面積$S_n$は、$n$個の合同な二等辺三角形の面積の和として計算できる。各二等辺三角形の底辺の長さは$a = \frac{1}{n}$であり、高さは$R\cos{\frac{\pi}{n}}$である。したがって、一つの二等辺三角形の面積は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{n} \times R\cos{\frac{\pi}{n}} = \frac{1}{2n}R\cos{\frac{\pi}{n}}$である。正$n$角形の面積は、$n$倍して$S_n = \frac{1}{2}R\cos{\frac{\pi}{n}}$となる。$R = \frac{1}{2n\sin{\frac{\pi}{n}}}$を代入すると、$S_n = \frac{1}{4n\sin{\frac{\pi}{n}}}\cos{\frac{\pi}{n}} = \frac{\cos{\frac{\pi}{n}}}{4n\sin{\frac{\pi}{n}}}$となる。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\cos{\frac{\pi}{n}}}{4n\sin{\frac{\pi}{n}}}$を計算する。$x = \frac{1}{n}$とおくと、$n \to \infty$のとき$x \to 0$なので、$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{x \to 0} \frac{x\cos{\pi x}}{4\sin{\pi x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos{\pi x}}{4} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin{\pi x}}$となる。$\lim_{x \to 0} \frac{\cos{\pi x}}{4} = \frac{1}{4}$であり、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin{\pi x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin{\pi x}}{x}} = \frac{1}{\pi} \lim_{x \to 0} \frac{\pi x}{\sin{\pi x}} = \frac{1}{\pi}$である。したがって、$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{4\pi}$となる。

3. 最終的な答え

(1) 外接円の半径: $R = \frac{1}{2n\sin{\frac{\pi}{n}}}$

(2) $S_n = \frac{\cos{\frac{\pi}{n}}}{4n\sin{\frac{\pi}{n}}}$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{4\pi}$