三角形OABにおいて、辺OA上に点PをOP:PA=3:2、辺OB上に点QをOQ:QB=5:1となるようにとる。AQとBPの交点をRとし、ORの延長とABの交点をSとするとき、以下の問いに答える。 (1) ベクトルORをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ。 (2) OR:RSを求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OA上に点PをOP:PA=3:2、辺OB上に点QをOQ:QB=5:1となるようにとる。AQとBPの交点をRとし、ORの延長とABの交点をSとするとき、以下の問いに答える。

(1) ベクトルORをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ。

(2) OR:RSを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

交点Rは線分AQ上にあるので、実数$s$を用いて、

$\overrightarrow{OR} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OQ}$

と表せる。OQ:QB = 5:1より、$\overrightarrow{OQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow{OB}$なので、

$\overrightarrow{OR} = (1-s)\overrightarrow{OA} + \frac{5s}{6}\overrightarrow{OB}$ ...(1)

また、交点Rは線分BP上にあるので、実数$t$を用いて、

$\overrightarrow{OR} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OP}$

と表せる。OP:PA = 3:2より、$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$なので、

$\overrightarrow{OR} = \frac{3t}{5}\overrightarrow{OA} + (1-t)\overrightarrow{OB}$ ...(2)

(1)(2)式より、$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{3t}{5}$かつ$\frac{5s}{6} = 1-t$

この連立方程式を解く。

$s = 1 - \frac{3t}{5}$より、

$\frac{5}{6}(1 - \frac{3t}{5}) = 1 - t$

$\frac{5}{6} - \frac{t}{2} = 1 - t$

$\frac{t}{2} = \frac{1}{6}$

$t = \frac{1}{3}$

よって、$s = 1 - \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

したがって、$\overrightarrow{OR} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + (1 - \frac{1}{3})\overrightarrow{OB} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

または、$\overrightarrow{OR} = (1 - \frac{4}{5})\overrightarrow{OA} + \frac{5}{6} \times \frac{4}{5}\overrightarrow{OB} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

(2)

点Sは線分AB上にあるので、実数$k$を用いて、

$\overrightarrow{OS} = (1-k)\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OB}$

と表せる。また、点Sは線分ORの延長上にあるので、$\overrightarrow{OS} = m\overrightarrow{OR}$（$m$は実数）と表せる。(1)の結果より、

$\overrightarrow{OS} = m(\frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}) = \frac{m}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2m}{3}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$は一次独立なので、

$1-k = \frac{m}{5}$かつ$k = \frac{2m}{3}$

$1 - \frac{2m}{3} = \frac{m}{5}$

$1 = \frac{m}{5} + \frac{2m}{3} = \frac{3m + 10m}{15} = \frac{13m}{15}$

$m = \frac{15}{13}$

$\overrightarrow{OS} = \frac{15}{13}\overrightarrow{OR}$なので、OR:OS = 13:15。

したがって、OR:RS = 13:(15-13) = 13:2。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OR} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

(2) OR:RS = 13:2