高さ $AH = 15$ cm、底面の半径 $BH = 6$ cmの円錐があります。この円錐を底面に平行な平面で切断し、切り口の中心を $P$ とし、母線 $AB$ とこの切り口との交点を $C$ とします。$AP = 6$ cmのとき、Aを含む円錐を取り去った残りの体積は、もとの円錐の体積の何倍になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

高さ $AH = 15$ cm、底面の半径 $BH = 6$ cmの円錐があります。この円錐を底面に平行な平面で切断し、切り口の中心を $P$ とし、母線 $AB$ とこの切り口との交点を $C$ とします。$AP = 6$ cmのとき、Aを含む円錐を取り去った残りの体積は、もとの円錐の体積の何倍になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、元の円錐の体積 $V$ を求めます。円錐の体積は、$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で求められます。ここで、$r$ は底面の半径、$h$ は高さです。

元の円錐の体積は、

$V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (15) = \frac{1}{3} \pi (36)(15) = 180 \pi$

次に、切り取られた円錐の体積 $V'$ を求めます。

まず、相似比を求めます。

$AP:AB = 6:(6+x)$ ただし，$x$ は $BC$ の長さです。

$AH:AB = 15$

$AC:AB = AP:AB = 6/15 = 2/5$

相似な円錐の高さの比は、AP:AH = 6:15 = 2:5 です。

したがって、半径の比も2:5になります。

切り取られた円錐の底面の半径 $r'$ は、

$r':6 = 2:5$

$r' = \frac{2}{5} \times 6 = \frac{12}{5}$

切り取られた円錐の体積 $V'$ は、

$V' = \frac{1}{3} \pi (\frac{12}{5})^2 (6) = \frac{1}{3} \pi \frac{144}{25} (6) = \pi \frac{144 \times 2}{25} = \pi \frac{288}{25} = \frac{288}{25} \pi$

残りの体積 $V_{残}$ は、$V_{残} = V - V'$ で求められます。

$V_{残} = 180 \pi - \frac{288}{25} \pi = (180 - \frac{288}{25}) \pi = (\frac{180 \times 25 - 288}{25}) \pi = (\frac{4500 - 288}{25}) \pi = \frac{4212}{25} \pi$

残りの体積が元の体積の何倍であるかを計算します。

$\frac{V_{残}}{V} = \frac{\frac{4212}{25} \pi}{180 \pi} = \frac{4212}{25 \times 180} = \frac{4212}{4500} = \frac{1053}{1125} = \frac{351}{375} = \frac{117}{125}$

3. 最終的な答え

$\frac{117}{125}$ 倍