三角形OABにおいて、辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBをa:(1-a)に内分する点をDとする。点Pは$\vec{OP} = \vec{OC} + \vec{OD}$を満たす。 (1) $a = \frac{1}{2}$, $|OA| = 5$, $|OB| = 4$, $\cos \angle AOB = \frac{5}{6}$のとき、内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$と$|\vec{OP}|$を求める。 (2) 辺ABを1:3に内分する点をEとする。3点O, P, Eが一直線上にあるとき、$a$とOP:PEを求める。 (3) 辺OBの中点をMとする。点Pが直線AM上にあるとき、$a$を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBをa:(1-a)に内分する点をDとする。点Pは$\vec{OP} = \vec{OC} + \vec{OD}$を満たす。

(1) $a = \frac{1}{2}$, $|OA| = 5$, $|OB| = 4$, $\cos \angle AOB = \frac{5}{6}$のとき、内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$と$|\vec{OP}|$を求める。

(2) 辺ABを1:3に内分する点をEとする。3点O, P, Eが一直線上にあるとき、$a$とOP:PEを求める。

(3) 辺OBの中点をMとする。点Pが直線AM上にあるとき、$a$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OC}$と$\vec{OD}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

$\vec{OC} = \frac{2}{5} \vec{OA}$, $\vec{OD} = a \vec{OB}$より、$\vec{OP} = \frac{2}{5} \vec{OA} + a \vec{OB}$。

よって、ア=$\frac{2}{5}$, イ=1, ウ=$a$。

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos \angle AOB = 5 \cdot 4 \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{3}$。エオ=50, カ=3。

$|\vec{OP}|^2 = |\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}|^2 = (\frac{2}{5})^2 |\vec{OA}|^2 + 2(\frac{2}{5})(\frac{1}{2})\vec{OA} \cdot \vec{OB} + (\frac{1}{2})^2 |\vec{OB}|^2 = \frac{4}{25} \cdot 25 + \frac{2}{5} \cdot \frac{50}{3} + \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 + \frac{20}{3} + 4 = 8 + \frac{20}{3} = \frac{24+20}{3} = \frac{44}{3}$。

$|\vec{OP}| = \sqrt{\frac{44}{3}} = \frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{33}}{3}$。キ=2, クケ=33, コ=3。

(2) $\vec{OE} = \frac{3\vec{OA} + \vec{OB}}{4}$。3点O, P, Eが一直線上にあるとき、$\vec{OP} = k \vec{OE}$となる実数$k$が存在する。

$\frac{2}{5} \vec{OA} + a \vec{OB} = k (\frac{3}{4}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB})$。

$\frac{2}{5} = \frac{3}{4}k$, $a = \frac{1}{4}k$より、$k = \frac{8}{15}$, $a = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{15} = \frac{2}{15}$。サ=2, シス=15。

$\vec{OP} = \frac{8}{15} \vec{OE}$より、OP:PE = 8:7。セ=8, ソ=7。

(3) $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OB}$。点Pが直線AM上にあるとき、$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t \vec{OM}$となる実数$t$が存在する。

$\frac{2}{5} \vec{OA} + a \vec{OB} = (1-t)\vec{OA} + \frac{t}{2} \vec{OB}$。

$\frac{2}{5} = 1-t$, $a = \frac{t}{2}$より、$t = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$, $a = \frac{3}{10}$。タ=3, チツ=10。

3. 最終的な答え

ア: 2/5

イ: 1

ウ: a

(1)

エオ/カ: 50/3

キ√クケ/コ: 2√33/3

(2)

サ/シス: 2/15

セ:ソ: 8:7

(3)

タ/チツ: 3/10