$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cとその上の点A(1,0)がある。円C上を動く点Pに対して、3点O, A, Pが三角形を作るとき、その三角形の重心Gの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cとその上の点A(1,0)がある。円C上を動く点Pに対して、3点O, A, Pが三角形を作るとき、その三角形の重心Gの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(x,y)$とする。点Pは円C上を動くので、$x^2 + y^2 = 1$が成り立つ。

重心Gの座標を$(X, Y)$とする。

重心Gは、O(0,0), A(1,0), P(x,y)の重心なので、

$X = \frac{0+1+x}{3} = \frac{1+x}{3}$

$Y = \frac{0+0+y}{3} = \frac{y}{3}$

となる。

したがって、

$x = 3X - 1$

$y = 3Y$

となる。

これらを$x^2 + y^2 = 1$に代入すると、

$(3X-1)^2 + (3Y)^2 = 1$

$9X^2 - 6X + 1 + 9Y^2 = 1$

$9X^2 - 6X + 9Y^2 = 0$

$X^2 - \frac{2}{3}X + Y^2 = 0$

$(X - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + Y^2 = 0$

$(X - \frac{1}{3})^2 + Y^2 = \frac{1}{9}$

これは中心$(\frac{1}{3}, 0)$、半径$\frac{1}{3}$の円を表す。

ただし、3点O, A, Pが三角形を作らないとき、つまりO, A, Pが同一直線上にあるときは、重心Gは存在しない。

O(0,0), A(1,0)より、直線OAはx軸上にある。

したがって、Pが(1,0)または(-1,0)のとき、3点O, A, Pは同一直線上にあるため、三角形を作らない。

P(1,0)のとき、Gの座標は$(\frac{0+1+1}{3}, \frac{0+0+0}{3}) = (\frac{2}{3}, 0)$

P(-1,0)のとき、Gの座標は$(\frac{0+1+(-1)}{3}, \frac{0+0+0}{3}) = (0, 0)$

これらは円 $(X - \frac{1}{3})^2 + Y^2 = \frac{1}{9}$ 上の点である。

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心$(\frac{1}{3}, 0)$、半径$\frac{1}{3}$の円である。ただし、点$(\frac{2}{3}, 0)$と点$(0,0)$を除く。

$(x-\frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{1}{9}$ ただし、$(x,y) \neq (0,0), (\frac{2}{3}, 0)$