三角形OABにおいて、辺OAを1:3に内分する点をC、辺OBを2:1に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表す。さらに、直線OPと辺ABの交点をQとするとき、AQ:QBの比を求め、最後に、三角形POA, PAB, PBOの面積比を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:3に内分する点をC、辺OBを2:1に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表す。さらに、直線OPと辺ABの交点をQとするとき、AQ:QBの比を求め、最後に、三角形POA, PAB, PBOの面積比を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルOPを求める。

点Pは線分AD上にあるので、実数$s$を用いて、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{OA} + s \cdot \frac{2}{3}\vec{OB}$

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + \frac{2s}{3}\vec{OB}$

点Pは線分BC上にあるので、実数$t$を用いて、

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = t \cdot \frac{1}{4}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{t}{4}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = \frac{t}{4}$

$\frac{2s}{3} = 1-t$

この連立方程式を解く。

$4-4s=t$

$\frac{2s}{3} = 1 - (4-4s) = -3 + 4s$

$2s = -9 + 12s$

$10s = 9$

$s = \frac{9}{10}$

$t = 4 - 4s = 4 - 4 \cdot \frac{9}{10} = 4 - \frac{36}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$\vec{OP} = (1 - \frac{9}{10})\vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10}\vec{OB} = \frac{1}{10}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{t}{4}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}\vec{OA} + (1-\frac{2}{5})\vec{OB} = \frac{1}{10}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

(2) AQ:QBを求める

点Qは直線OP上にあるので、実数$k$を用いて、

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = k(\frac{1}{10}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) = \frac{k}{10}\vec{OA} + \frac{3k}{5}\vec{OB}$

点Qは直線AB上にあるので、実数$l$を用いて、

$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{k}{10} = 1-l$

$\frac{3k}{5} = l$

$\frac{k}{10} = 1 - \frac{3k}{5}$

$k = 10 - 6k$

$7k = 10$

$k = \frac{10}{7}$

$l = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{7} = \frac{6}{7}$

$\vec{OQ} = (1 - \frac{6}{7})\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB} = \frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB}$

$\vec{AQ} = \vec{OQ} - \vec{OA} = \frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB} - \vec{OA} = -\frac{6}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB} = \frac{6}{7}(\vec{OB} - \vec{OA}) = \frac{6}{7}\vec{AB}$

$\vec{QB} = \vec{OB} - \vec{OQ} = \vec{OB} - (\frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB}) = -\frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{1}{7}\vec{OB} = \frac{1}{7}(\vec{OB} - \vec{OA}) = \frac{1}{7}\vec{AB}$

したがって、AQ:QB = 6:1

(3) 面積比を求める

$\vec{OP} = \frac{1}{10}\vec{OA} + \frac{6}{10}\vec{OB}$

$\triangle POA = \frac{6}{10} \triangle OAB$

$\triangle PBO = \frac{1}{10} \triangle OAB$

$\triangle PAB = (1 - \frac{6}{10} - \frac{1}{10}) \triangle OAB = \frac{3}{10} \triangle OAB$

$\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO = \frac{6}{10} : \frac{3}{10} : \frac{1}{10} = 6:3:1$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{10}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

AQ:QB = 6:1

$\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO = 6:3:1$

回答欄にあてはまるように修正すると、

$\vec{OP} = \frac{1}{10}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

AQ:QB = 6:1

$\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO = 6:3:1$

と求められます。