$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cとその上の点A(1,0)がある。円C上を動く点Pに対して、3点O, A, Pが三角形を作るとき、その三角形の重心Gの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cとその上の点A(1,0)がある。円C上を動く点Pに対して、3点O, A, Pが三角形を作るとき、その三角形の重心Gの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(\cos \theta, \sin \theta)$とおく。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$。

三角形OAPの重心Gの座標を$(x, y)$とすると、重心の定義より、

$x = \frac{0 + 1 + \cos \theta}{3}$

$y = \frac{0 + 0 + \sin \theta}{3}$

したがって、

$x = \frac{1 + \cos \theta}{3}$

$y = \frac{\sin \theta}{3}$

これらの式から$\theta$を消去する。まず、

$3x = 1 + \cos \theta$より、$\cos \theta = 3x - 1$

$3y = \sin \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$に代入して、

$(3y)^2 + (3x - 1)^2 = 1$

$9y^2 + 9x^2 - 6x + 1 = 1$

$9x^2 - 6x + 9y^2 = 0$

$x^2 - \frac{2}{3}x + y^2 = 0$

$(x - \frac{1}{3})^2 + y^2 = (\frac{1}{3})^2$

これは、中心$(\frac{1}{3}, 0)$、半径$\frac{1}{3}$の円である。

点PがOまたはAに一致する場合、3点O, A, Pが三角形を作らない。

点PがA(1, 0)に一致する場合、$\theta = 0$。このとき、$x = \frac{2}{3}, y = 0$。

点PがO(0, 0)に一致する場合、3点O, A, Pは三角形を作らないので、考慮する必要はない。

したがって、求める軌跡は、中心$(\frac{1}{3}, 0)$、半径$\frac{1}{3}$の円である。

3. 最終的な答え

中心$(\frac{1}{3}, 0)$、半径$\frac{1}{3}$の円

$(x-\frac{1}{3})^2 + y^2 = (\frac{1}{3})^2$