点Qが放物線 $y = x^2 - 2x + 6$ 上を動くとき、点A(2, 3)と点Qを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

点Qが放物線 $y = x^2 - 2x + 6$ 上を動くとき、点A(2, 3)と点Qを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点Qの座標を$(s, t)$とします。点Qは放物線 $y = x^2 - 2x + 6$ 上にあるので、

$t = s^2 - 2s + 6$ が成り立ちます。

(2) 点Pの座標を$(x, y)$とします。点Pは線分AQを1:2に内分するので、内分点の公式から、

$x = \frac{2 + s}{1 + 2} = \frac{2 + s}{3}$

$y = \frac{3 + t}{1 + 2} = \frac{3 + t}{3}$

が成り立ちます。

(3) 上の式から、$s$と$t$を$x$と$y$で表します。

$s = 3x - 2$

$t = 3y - 3$

(4) $t = s^2 - 2s + 6$に、$s = 3x - 2$と$t = 3y - 3$を代入します。

$3y - 3 = (3x - 2)^2 - 2(3x - 2) + 6$

$3y - 3 = 9x^2 - 12x + 4 - 6x + 4 + 6$

$3y - 3 = 9x^2 - 18x + 14$

$3y = 9x^2 - 18x + 17$

$y = 3x^2 - 6x + \frac{17}{3}$

3. 最終的な答え

点Pの軌跡は $y = 3x^2 - 6x + \frac{17}{3}$ です。