$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cとその上の点A(1,0)がある。円C上を動く点Pに対して、3点O, A, Pが三角形を作るとき、その三角形の重心をGとする。Gの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cとその上の点A(1,0)がある。円C上を動く点Pに対して、3点O, A, Pが三角形を作るとき、その三角形の重心をGとする。Gの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(\cos\theta, \sin\theta)$とおく。

ただし、点Pは点A(1,0)と一致しないので、$\theta \ne 2n\pi$（$n$は整数）である。

三角形OAPの重心Gの座標を$(x, y)$とすると、

$$x = \frac{0+1+\cos\theta}{3} = \frac{1+\cos\theta}{3}$$

$$y = \frac{0+0+\sin\theta}{3} = \frac{\sin\theta}{3}$$

したがって、

$$3x-1 = \cos\theta$$

$$3y = \sin\theta$$

両辺を2乗して足すと、

$$(3x-1)^2 + (3y)^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$

$$(3x-1)^2 + 9y^2 = 1$$

$$9x^2 - 6x + 1 + 9y^2 = 1$$

$$9x^2 - 6x + 9y^2 = 0$$

$$x^2 - \frac{2}{3}x + y^2 = 0$$

$$\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2$$

これは、中心$(\frac{1}{3}, 0)$、半径$\frac{1}{3}$の円を表す。

ただし、点Pが点A(1,0)と一致しないとき、$\theta \ne 0$であるから、

$$x = \frac{1+\cos(0)}{3} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}$$

$$y = \frac{\sin(0)}{3} = \frac{0}{3} = 0$$

重心Gの座標は、$(\frac{2}{3}, 0)$になることはない。

したがって、円$\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2$ から点$(\frac{2}{3}, 0)$を除いたものが、重心Gの軌跡である。

3. 最終的な答え

$\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{9}$ ただし、点$(\frac{2}{3}, 0)$を除く。