$xy$ 平面上に原点 O を中心とする半径 1 の円 C と、その円上の点 A(1, 0) がある。円 C 上を動く点 P に対して、3 点 O, A, P が三角形を作るとき、その三角形の重心 G の軌跡を求める。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に原点 O を中心とする半径 1 の円 C と、その円上の点 A(1, 0) がある。円 C 上を動く点 P に対して、3 点 O, A, P が三角形を作るとき、その三角形の重心 G の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点 P の座標を $(\cos \theta, \sin \theta)$ とする。三角形 OAP の重心 G の座標を $(x, y)$ とすると、重心の定義より、

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x = \frac{0 + 1 + \cos \theta}{3} = \frac{1 + \cos \theta}{3}

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y = \frac{0 + 0 + \sin \theta}{3} = \frac{\sin \theta}{3}

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したがって、

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\cos \theta = 3x - 1

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\sin \theta = 3y

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$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、

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(3x - 1)^2 + (3y)^2 = 1

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9x^2 - 6x + 1 + 9y^2 = 1

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9x^2 - 6x + 9y^2 = 0

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x^2 - \frac{2}{3} x + y^2 = 0

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\left( x - \frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2

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これは中心 $\left( \frac{1}{3}, 0 \right)$、半径 $\frac{1}{3}$ の円を表す。

点 P が原点 O、点 A と一致するとき、3 点 O, A, P は三角形を作らない。

P が O に一致するとき $\theta = \pi$ なので、$(x, y) = (0, 0)$。

P が A に一致するとき $\theta = 0$ なので、$(x, y) = (\frac{2}{3}, 0)$。

したがって、重心 G の軌跡は、中心 $\left( \frac{1}{3}, 0 \right)$、半径 $\frac{1}{3}$ の円から 2 点 $(0, 0)$、$(\frac{2}{3}, 0)$ を除いたものである。

3. 最終的な答え

中心 $\left( \frac{1}{3}, 0 \right)$、半径 $\frac{1}{3}$ の円から 2 点 $(0, 0)$、$(\frac{2}{3}, 0)$ を除いたもの。

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\left( x - \frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} ただし (x, y) \ne (0, 0), \left(\frac{2}{3}, 0\right)

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