平面上に三角形OABがあり、点Pが$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OP} = \vec{p}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ を満たしながら動くとき、$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{b}$を満たす点Pが描く図形が円であることを示し、その半径を求める。

1. 問題の内容

平面上に三角形OABがあり、点Pが$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OP} = \vec{p}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ を満たしながら動くとき、$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{b}$を満たす点Pが描く図形が円であることを示し、その半径を求める。

2. 解き方の手順

与えられた条件$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{b}$を展開する。

$\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{p} \cdot \vec{b} - \vec{p} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{p} \cdot \vec{b} - \vec{p} \cdot \vec{a} = 0$

$|\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0$

次に、$\vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ の部分を平方完成させることを考える。

$\vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{4}|\vec{a} + \vec{b}|^2 + \frac{1}{4}|\vec{a} + \vec{b}|^2$

$|\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{4}|\vec{a} + \vec{b}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{a} + \vec{b}|^2$

$|\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{a} + \vec{b}|^2$

これは、点 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ を中心とする円を表す。

円の半径 $r$ は、 $r^2 = \frac{1}{4}|\vec{a} + \vec{b}|^2$ であるから $r = \frac{1}{2}|\vec{a} + \vec{b}|$ である。

ここで、$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 3^2 + 2(-2) + 2^2 = 9 - 4 + 4 = 9$

したがって、$|\vec{a} + \vec{b}| = 3$

$r = \frac{1}{2}|\vec{a} + \vec{b}| = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

点Pが描く図形は円であり、その半径は $\frac{3}{2}$ である。