## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

画像の問題は3つあります。

* 問題5: $\triangle ABC$において、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$のとき、$CA$の長さと外接円の半径$R$を求めよ。

* 問題6: $\triangle ABC$において、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$のとき、$A$の角度を求めよ。

* 問題7: $\triangle ABC$において、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積$S$を求めよ。

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2. 解き方の手順

**問題5:**

1. まず、$C$の角度を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$です。

2. 正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$なので、$CA = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{4 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$です。

3. 外接円の半径$R$は、正弦定理より、$2R = \frac{AB}{\sin C}$なので、$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{4}{2\sin 45^\circ} = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$です。

**問題6:**

1. 余弦定理より、$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{3^2 + 2^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 + 4 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$です。

2. よって、$A = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$です。

**問題7:**

1. 三角形の面積の公式より、$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = 12\sqrt{6}$です。

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3. 最終的な答え

* 問題5: $CA = 2\sqrt{6}$, $R = 2\sqrt{2}$

* 問題6: $A = 60^\circ$

* 問題7: $S = 12\sqrt{6}$