問題は以下の4つの小問から構成されています。 (1) 直角三角形の図から、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。 (2) $\theta$ が鈍角で、$\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ を求める。 (4) $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

1. 問題の内容

問題は以下の4つの小問から構成されています。

(1) 直角三角形の図から、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。

(2) $\theta$ が鈍角で、$\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ を求める。

(4) $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

2. 解き方の手順

(1) 図の直角三角形において、斜辺の長さを求める。斜辺を $c$ とすると、$c^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$ より、$c = \sqrt{3}$ となる。

$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\theta$ が鈍角であるとき、$\sin \theta > 0$, $\cos \theta < 0$, $\tan \theta < 0$ である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ となる。

$\sin \theta > 0$ より、$\sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3) (1) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = 60^\circ, 120^\circ$ である。

(2) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で、$\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ は、$\theta = 135^\circ$ である。

(4) $\sin 115^\circ = \sin(180^\circ - 115^\circ) = \sin 65^\circ$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)

$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3)

(1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(2) $\theta = 135^\circ$

(4) $\sin 115^\circ = \sin 65^\circ$