$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -3$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -3$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = -3$ であることから、$\theta$ は第2象限または第4象限にあります。問題文より、$\theta$ の動径は第4象限にあるため、第4象限で考えます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることと、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であることを利用して、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = -3$ より、$\sin \theta = -3 \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(-3 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$10 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\theta$ は第4象限にあるので、$\cos \theta > 0$ となるため、

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = -3 \cos \theta = -3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$