半径1、中心角45°のおうぎ形に正方形が内接している。この正方形の一辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

半径1、中心角45°のおうぎ形に正方形が内接している。この正方形の一辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正方形の一辺の長さを $x$ とする。

おうぎ形の中心から正方形の左上の頂点に向かって線を引くと、これはおうぎ形の半径であり、長さは1である。

この線と正方形の上辺、左辺で直角三角形ができる。この直角三角形は直角二等辺三角形である（45°）。

直角二等辺三角形の斜辺の長さは1、他の二辺の長さはそれぞれ$x$であるから、三平方の定理より、

$x^2 + x^2 = 1^2$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

正方形の一辺の長さは$x$、正方形の下の辺からおうぎ形の中心までの長さも$x$となる。

したがって、おうぎ形の中心から正方形の上の辺までの距離は$x$である。

おうぎ形の中心から正方形の左上の頂点までの距離は1である。

したがって、

$x + \sqrt{2}x = 1$

$x(1 + \sqrt{2}) = 1$

$x = \frac{1}{1+\sqrt{2}}$

$x = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2}-1$

$x + \sqrt{x^2 + x^2} = 1$

$x + \sqrt{2x^2} = 1$

$x + x\sqrt{2} = 1$

$x(1 + \sqrt{2}) = 1$

$x = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$

$x = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} - 1$