半径5の円O上に点A, Bがあり、$AB=6$である。円O上にA, Bと異なる点Cをとる。 (i) $\sin{\angle ACB}$を求めよ。また、点Cを$\angle ACB$が鈍角となるようにとるとき、$\cos{\angle ACB}$を求めよ。 (ii) 点Cを$\triangle ABC$の面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂線を下ろし、ABとの交点をDとするとき、$\tan{\angle OAD}$を求めよ。また、$\triangle ABC$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

半径5の円O上に点A, Bがあり、$AB=6$である。円O上にA, Bと異なる点Cをとる。

(i) $\sin{\angle ACB}$を求めよ。また、点Cを$\angle ACB$が鈍角となるようにとるとき、$\cos{\angle ACB}$を求めよ。

(ii) 点Cを$\triangle ABC$の面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂線を下ろし、ABとの交点をDとするとき、$\tan{\angle OAD}$を求めよ。また、$\triangle ABC$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(i)

$\triangle OAB$において、余弦定理より

$\cos{\angle AOB} = \frac{5^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{50 - 36}{50} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$

$\angle AOB = 2 \angle ACB$ (中心角と円周角の関係)より、$\angle ACB$が鋭角のとき、

$\sin{\angle ACB} = \sin{\frac{\angle AOB}{2}} = \sqrt{\frac{1-\cos{\angle AOB}}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\angle ACB$が鈍角のとき、$\angle ACB = 180^\circ - \frac{\angle AOB}{2}$であるから、

$\sin{\angle ACB} = \sin{(180^\circ - \frac{\angle AOB}{2})} = \sin{\frac{\angle AOB}{2}} = \frac{3}{5}$

$\angle ACB$が鈍角のとき、$\cos{\angle ACB} = - \sqrt{1-\sin^2{\angle ACB}} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1-\frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

(ii)

$\triangle ABC$の面積が最大となるのは、点Cから直線ABまでの距離が最大となるときである。

このとき、直線OCは直線ABに垂直となる。

$\triangle OAD$において、ODは$\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。

$OA = 5$, $AD = 3$, $OD = 4$

$\tan{\angle OAD} = \frac{OD}{AD} = \frac{4}{3}$

$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times CD$で計算される。

CDは$OD+OC=4+5=9$となる。

したがって、$\triangle ABC$の面積は$\frac{1}{2} \times 6 \times 9 = 27$

3. 最終的な答え

$\sin{\angle ACB} = \frac{3}{5}$

$\cos{\angle ACB} = -\frac{4}{5}$

$\tan{\angle OAD} = \frac{4}{3}$

$\triangle ABC$の面積 = 27