半径が $r$ mの円形の土地の周りに、幅が $a$ mの道がある。道の中心を通る円周の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

半径が $r$ mの円形の土地の周りに、幅が $a$ mの道がある。道の中心を通る円周の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を計算する。

道の外側の円の半径は $r + a$ mなので、道の面積 $S$ は、

$$S = \pi (r+a)^2 - \pi r^2$$

$$S = \pi (r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2$$

$$S = \pi r^2 + 2 \pi ar + \pi a^2 - \pi r^2$$

$$S = 2 \pi a r + \pi a^2$$

次に、道の中心を通る円周の長さ $l$ を計算する。

道の中心を通る円の半径は $r + \frac{a}{2}$ mなので、$l$ は、

$$l = 2 \pi (r + \frac{a}{2})$$

$$l = 2 \pi r + \pi a$$

したがって、$al$ は、

$$al = a(2 \pi r + \pi a)$$

$$al = 2 \pi a r + \pi a^2$$

$S$ と $al$ を比較すると、

$$S = 2 \pi a r + \pi a^2$$

$$al = 2 \pi a r + \pi a^2$$

であるから、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = al$ が証明された。