$-\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r>0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

1. 問題の内容

$-\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r>0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成を行います。

$-\sin\theta + \cos\theta = r\sin(\theta+\alpha)$ とすると、

$r\sin(\theta+\alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

したがって、

$r\cos\alpha = -1$

$r\sin\alpha = 1$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = (-1)^2 + 1^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 1 + 1$

$r^2 = 2$

$r>0$ より、

$r = \sqrt{2}$

このとき、

$\sqrt{2}\cos\alpha = -1$ より、$\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2}\sin\alpha = 1$ より、$\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$-\pi < \alpha < \pi$ の範囲で、これらを満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{3}{4}\pi$ です。

したがって、

$-\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{3}{4}\pi\right)$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{3}{4}\pi\right)$

したがって、答えは、

工: 2

オ: 3

カ: 4