(1) 直角三角形の斜辺の長さを求める問題です。 (2) 直角三角形において、指定された辺の長さを求める問題です。 (3) 長さ$a, b, c$が与えられたとき、直角三角形かどうかを判断する問題です。 (4) 2点間の距離を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 直角三角形の斜辺の長さを求める問題です。

(2) 直角三角形において、指定された辺の長さを求める問題です。

(3) 長さ$a, b, c$が与えられたとき、直角三角形かどうかを判断する問題です。

(4) 2点間の距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 三平方の定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2$なので、$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$で計算できます。$AC = 2$, $BC = 3$を代入すると、$AB = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$となります。

(2) $CD = x$とすると、直角三角形ACDにおいて、$AD = CD = x$となります。

また、直角三角形BCDにおいて、$BD = \frac{CD}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$となります。

$CB = 6$であるため、$CD^2 + DB^2 = CB^2$より、$x^2 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = 6^2$となります。

これを解くと、$x^2 + \frac{x^2}{3} = 36$、$3x^2 + x^2 = 108$、$4x^2 = 108$、$x^2 = 27$、$x = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$となります。

したがって、$CD = 3\sqrt{3}$、$BD = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$となります。

$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{27 + 27} = \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$となります。

(3) $a = \sqrt{2}, b = \sqrt{6}, c = \sqrt{7}$において、$a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 = 2 + 6 = 8$, $c^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$となり、$a^2 + b^2 \neq c^2$なので、直角三角形ではありません。したがって、答えは②です。

$a = 5, b = 12, c = 13$において、$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$, $c^2 = 13^2 = 169$となり、$a^2 + b^2 = c^2$なので、直角三角形です。したがって、答えは①です。

(4) 2点A$(-2,3)$, B$(4,5)$間の距離は、$\sqrt{(4-(-2))^2 + (5-3)^2} = \sqrt{(4+2)^2 + (2)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $AB = \sqrt{13}$

(2) $DB = 3$, $AC = 3\sqrt{6}$

(3) (1) ②, (2) ①

(4) $2\sqrt{10}$