問題は2つあります。 (1) 図において、4点A, B, C, Dが同一円周上にあるときの、角xの大きさを求めます。 (2) 円周上に4点A, B, C, Dがあるとき、三角形AEDと三角形BECが相似であることを証明する問題です。空欄を埋めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 図において、4点A, B, C, Dが同一円周上にあるときの、角xの大きさを求めます。

(2) 円周上に4点A, B, C, Dがあるとき、三角形AEDと三角形BECが相似であることを証明する問題です。空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

(1) 4点A, B, C, Dが同一円周上にある条件は、$\angle BAC = \angle BDC$ あるいは $\angle ABD = \angle ACD$ などが成り立つことです。今回は、$\angle BAC = 40^\circ$ が分かっているので、$\angle BDC = 40^\circ$ となればよいです。

$\angle BDC = \angle BDA + \angle ADC$

$\angle ADC = 80^\circ$ であるので、

$\angle x + 80^\circ = 40^\circ$ となればよいですが、これはありえません。

4点A, B, C, Dが同一円周上にあるための条件は、四角形ABCDの内角の対角の和が180度であることです。

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ または $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle ADC = 80^\circ$ なので、

$\angle ABC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

$\angle ABC = 40^\circ + \angle x = 100^\circ$

$\angle x = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ$

(2) 三角形AEDと三角形BECにおいて、

$\angle AED = \angle BEC$ （対頂角）

円周角の定理より、$\angle ADE = \angle BCE$ または $\angle DAE = \angle CBE$ などが言えます。

2角がそれぞれ等しいので、三角形AEDと三角形BECは相似であると言えます。

3. 最終的な答え

(1) 角x = 60度

(2) 円周角