問題は、図1のような立体（円柱を底面に垂直な平面で4等分したものの一部）に関する2つの問いです。 (1) 点Pが線分DE上をDからEまで動くとき、線分OPが動いたあとにできる面の面積を求めます。ここで、OD = 13 cm, OA = 12 cm, 高さ = 5 cmです。 (2) 図2のように、この立体を3点O, D, Eを通る平面で切って2つに分けるとき、頂点Aを含む立体の体積を求めます。

はい、数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、図1のような立体（円柱を底面に垂直な平面で4等分したものの一部）に関する2つの問いです。

(1) 点Pが線分DE上をDからEまで動くとき、線分OPが動いたあとにできる面の面積を求めます。ここで、OD = 13 cm, OA = 12 cm, 高さ = 5 cmです。

(2) 図2のように、この立体を3点O, D, Eを通る平面で切って2つに分けるとき、頂点Aを含む立体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが線分DE上を動くとき、線分OPが動いたあとにできる面は、扇形の一部になります。

この面積は、線分OPの長さの変化と、点Pが動く距離によって決定されます。

点PがDにあるとき、OP = OD = 13 cmです。

点PがEにあるとき、OEは円柱の半径なので、OE = 12 cmです。

点Pが動く距離は、DEの長さです。DとEは円柱の側面上にあるため、DEの長さは高さ5cmに相当します。

線分OPが動いたあとにできる面は、長方形とみなすことができます。

長方形の面積 = (OPの平均の長さ) * (DEの長さ)

OPの平均の長さ = (OD + OE) / 2 = (13 + 12) / 2 = 25 / 2 cm

DEの長さ = 5 cm

したがって、線分OPが動いたあとにできる面の面積 = (25 / 2) * 5 = 125 / 2 = 62.5 平方cm

(2) 図2のように、立体をO, D, Eを通る平面で切断すると、頂点Aを含む立体は、元の立体から三角錐ODEを切り取ったものになります。

元の立体の体積は、円柱の1/4の体積です。

円柱の体積 = $\pi r^2 h$ = $\pi (12)^2 (5)$ = $720\pi$ 立方cm

元の立体の体積 = $720\pi / 4 = 180\pi$ 立方cm

三角錐ODEの体積 = (底面積) * (高さ) / 3

底面積(三角形ODE) = (1/2) * OD * OE * sin(角DOE)

角DOE = 90度なので、sin(角DOE) = 1

底面積 = (1/2) * 12 * 5 = 30 平方cm

高さ = OD = 12 cm

体積 = 30 x 12 / 3 = 120 立方cm

したがって、頂点Aを含む立体の体積 = $180\pi - 120$ 立方cm。

ここで、$\pi = 3.14$ と近似すると、

$180\pi - 120 = 180 * 3.14 - 120 = 565.2 - 120 = 445.2$ 立方cm

3. 最終的な答え

(1) 線分OPが動いたあとにできる面の面積: 62.5 平方cm

(2) 頂点Aを含む立体の体積: $180\pi - 120$ 立方cm （近似値 445.2 立方cm）