問題は、△ADEの外接円と直線BDの交点をHとしたとき、4点C, G, H, Dが同一円周上にあることを示すための穴埋め問題です。構想として、BH・BDの値が一定であることを示す方針で進められています。

1. 問題の内容

問題は、△ADEの外接円と直線BDの交点をHとしたとき、4点C, G, H, Dが同一円周上にあることを示すための穴埋め問題です。構想として、BH・BDの値が一定であることを示す方針で進められています。

2. 解き方の手順

(1) まず、4点A, E, H, Dが同一円周上にあることから、方べきの定理を用いてBH・BDを求めます。方べきの定理より、

$BH \cdot BD = BE \cdot BA$

したがって、コには $BE \cdot BA$ が入ります。

(2) 次に、∠BCA + ∠サ = 180°であることから、4点シが同一円周上にあることがわかります。図から、∠BCAと∠GEA(または∠HEA)の和が180°となるので、サには∠GEA(または∠HEA)が入ります。したがって、4点C, G, E, A（もしくは C, H, E, A）は同一円周上にあります。シに入るのはA, C, E, G（もしくは A, C, E, H）のいずれかです。問題文から、4点C, G, H, Dが同一円周上にあることを示したいので、これと関係のあるC, Gを組合わせた、A,C,E,Gを選ぶのが適当でしょう。しかし、後の記述から、方べきの定理によりケ=コとしたいので、最終的に、4点A, C, E, Gではなく、∠BCA + ∠BGA = 180°（外角と内対角の関係）より、4点A, C, G, Eが同一円周上にあることが分かります。また、△ADEの外接円上にHがあるので、4点A, E, H, Dも同一円周上にあります。

(3) よって、方べきの定理により、ケ = $BG \cdot BC$

(4) (1), (3)より、BH・BD = $BG \cdot BC$ であることを示すことで、4点C, G, H, Dが同一円周上にあることを証明できます。したがって、ケには $BG \cdot BC$ が入ります。

3. 最終的な答え

ケ: $BG \cdot BC$

コ: $BE \cdot BA$

サ: ∠BGA

シ: A,C,G,E