(1) $y$軸上に中心があり、2点 $(-2, 1)$, $(4, 3)$ を通る円の方程式を求める。 (2) 点 $(2, 1)$ を中心とし、直線 $4x - 3y + 2 = 0$ に接する円の方程式を求める。

## 解答

1. 問題の内容

(1) $y$軸上に中心があり、2点 $(-2, 1)$, $(4, 3)$ を通る円の方程式を求める。

(2) 点 $(2, 1)$ を中心とし、直線 $4x - 3y + 2 = 0$ に接する円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y$ 軸上に中心があるので、中心の座標を $(0, b)$ とおく。

円の方程式は $x^2 + (y - b)^2 = r^2$ と表せる。

これが $(-2, 1)$ と $(4, 3)$ を通るので、それぞれの点を代入すると、

$(-2)^2 + (1 - b)^2 = r^2$

$(4)^2 + (3 - b)^2 = r^2$

したがって、

$4 + (1 - b)^2 = 16 + (3 - b)^2$

$4 + 1 - 2b + b^2 = 16 + 9 - 6b + b^2$

$5 - 2b = 25 - 6b$

$4b = 20$

$b = 5$

$r^2 = 4 + (1 - 5)^2 = 4 + 16 = 20$

円の方程式は $x^2 + (y - 5)^2 = 20$

$x^2 + y^2 - 10y + 25 = 20$

$x^2 + y^2 - 10y + 5 = 0$

したがって、ア = 10, イ = 5

(2)

円の中心 $(2, 1)$ と直線 $4x - 3y + 2 = 0$ との距離が半径となる。

点 $(x_1, y_1)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は $\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で求まるので、

$r = \frac{|4(2) - 3(1) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|8 - 3 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{7}{5}$

円の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = r^2$ なので、

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\frac{7}{5})^2 = \frac{49}{25}$

したがって、ウ = 2, エ = 1, オ/カ = 49/25

3. 最終的な答え

(1) ア = 10, イ = 5

(2) ウ = 2, エ = 1, オ/カ = 49/25