底面の半径が4cm、母線の長さが6cmの円錐の展開図が与えられている。 (1) 側面のおうぎ形の中心角を求める。 (2) 円錐の表面積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が4cm、母線の長さが6cmの円錐の展開図が与えられている。

(1) 側面のおうぎ形の中心角を求める。

(2) 円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周に等しい。底面の円周は $2 \pi \times 4 = 8\pi$ cmである。

おうぎ形の半径は6cmなので、おうぎ形の円周は $2 \pi \times 6 = 12 \pi$ cmである。

おうぎ形の中心角を $x$ とすると、

$\frac{x}{360} \times 12 \pi = 8\pi$

$x = \frac{8\pi}{12\pi} \times 360 = \frac{2}{3} \times 360 = 240$

(2) 円錐の表面積は、側面積と底面積の和である。

側面積はおうぎ形の面積なので、

$\pi \times 6^2 \times \frac{240}{360} = 36 \pi \times \frac{2}{3} = 24 \pi$

底面積は $\pi \times 4^2 = 16 \pi$

表面積は $24\pi + 16\pi = 40\pi$

3. 最終的な答え

(1) 240

(2) 40