$\tan 150^\circ$ を $\frac{\sin(90^\circ + 60^\circ)}{\cos(90^\circ + 60^\circ)}$ で表したとき、この値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan 150^\circ$ を $\frac{\sin(90^\circ + 60^\circ)}{\cos(90^\circ + 60^\circ)}$ で表したとき、この値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$ であることを利用します。

$\sin(90^\circ + 60^\circ) = \sin 150^\circ$

$\cos(90^\circ + 60^\circ) = \cos 150^\circ$

ここで、三角関数の性質を利用します。

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$

したがって、

$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、

$\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{-2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$