三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$とする。三角形ADFを、三角形ABCを点Aを中心に回転したものであり、三角形ABCと三角形ADEの辺はそれぞれ対辺と交わっている。点Eは線分AB上にあるとし、さらに、直線ABと直線DCの交点をF、直線BCと直線DEの交点をGとする。このとき、$AE:EB$の比、および$CF:FD$の比を求め、さらに$\frac{GB}{GC}$と$\frac{\triangle BCF \text{の面積}}{\triangle CAE \text{の面積}}$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$とする。三角形ADFを、三角形ABCを点Aを中心に回転したものであり、三角形ABCと三角形ADEの辺はそれぞれ対辺と交わっている。点Eは線分AB上にあるとし、さらに、直線ABと直線DCの交点をF、直線BCと直線DEの交点をGとする。このとき、$AE:EB$の比、および$CF:FD$の比を求め、さらに$\frac{GB}{GC}$と$\frac{\triangle BCF \text{の面積}}{\triangle CAE \text{の面積}}$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$AE:EB$を求める。

問題文より、三角形ABCと三角形ADEが相似であることから、$\angle BAC = \angle DAE$。また、点Aを中心とする回転により、$\angle BAD = \angle CAE$。

仮定より、$AB=4, AC=3$なので、$AE:EB=3:1$となる。なぜなら、$AD:DE = AC:BC$となるから。

ゆえに、$AE:EB = ア: イ = 3:1$である。

次に、$CF:FD$を求める。

三角形ADCと直線BFにメネラウスの定理を用いる。

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BG}{GC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EB} = 3$より、$AE = 3EB$なので、$AE = 3x, EB = x$とおける。このとき、$AB = 4x = 4$より、$x = 1$となり、$AE = 3, EB = 1$となる。

$\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CG}{GB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BG}{GC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$なので、メネラウスの定理より、$\frac{4}{1} \cdot \frac{CG}{GB} \cdot \frac{BF}{FD} = 1$

最後に、$GB/GC$と$\triangle BCF \text{の面積} / \triangle CAE \text{の面積}$を求める。

メネラウスの定理から$\frac{GB}{BC}=\frac{1}{5}$

である。

三角形ABCと三角形ADEが相似であることから、面積比は辺の比の二乗に等しい。

よって、$\frac{\triangle BCF \text{の面積}}{\triangle CAE \text{の面積}} = \frac{1}{5}$

である。

3. 最終的な答え

$AE:EB = 3:1$

$CF:FD = 3:1$

$\frac{GB}{BC}=\frac{1}{5}$

$\frac{\triangle BCF \text{の面積}}{\triangle CAE \text{の面積}} = \frac{1}{5}$