問題文は、△ADEの外接円と線分BDの交点をHとしたときに、四点C, G, H, Dが同一円周上にあることを証明するための穴埋め問題です。穴埋め箇所はケ、サ、シの３つです。

1. 問題の内容

問題文は、△ADEの外接円と線分BDの交点をHとしたときに、四点C, G, H, Dが同一円周上にあることを証明するための穴埋め問題です。穴埋め箇所はケ、サ、シの３つです。

2. 解き方の手順

(1) 4点A, E, H, Dは同一円周上にあるので、方べきの定理より $BH \cdot BD = BE \cdot BA$ となります。よって、ケには $BE \cdot BA$ が入ります。

(2) また、四角形ACGEは円に内接するので、$\angle BCA + \angle AEG = 180^{\circ}$となります。よって、サには$\angle AEG$が入ります。

(3) $\angle BCA + \angle AEG = 180^{\circ}$であることから、4点A, E, H, Dは同一円周上にあるので、4点A, C, E, Gが同一円周上にあることになります。したがって、シには A, C, E, Gが入ります。

(4) よって、方べきの定理より$BH \cdot BD = BE \cdot BA$です。

(5) ①、②より、$BH \cdot BD = BE \cdot BA$であることから、鋭角三角形ABCの形状によらず、4点C, G, H, Dは同一円周上にあることが示せます。

3. 最終的な答え

ケ: $BE \cdot BA$

サ: $\angle AEG$

シ: A, C, E, G