点(2,1)を通る傾き$m$の直線と、円$x^2 + y^2 = 1$の共有点の個数が、定数$m$の値によってどのように変わるかを答える問題です。

1. 問題の内容

点(2,1)を通る傾き$m$の直線と、円$x^2 + y^2 = 1$の共有点の個数が、定数$m$の値によってどのように変わるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、点(2,1)を通る傾き$m$の直線の方程式を求めます。これは、$y - 1 = m(x - 2)$と表せます。整理すると、$y = mx - 2m + 1$となります。

次に、この直線と円$x^2 + y^2 = 1$の共有点の個数を調べます。直線の式を円の式に代入して、$x$に関する2次方程式を導き、その判別式によって共有点の個数を判断します。

$x^2 + (mx - 2m + 1)^2 = 1$

$x^2 + m^2x^2 - 4m^2x + 4m^2 + 2mx - 4m + 1 = 1$

$(1+m^2)x^2 + (-4m^2+2m)x + 4m^2-4m = 0$

判別式を$D$とすると、

$D = (-4m^2 + 2m)^2 - 4(1+m^2)(4m^2 - 4m)$

$D = 16m^4 - 16m^3 + 4m^2 - 4(4m^2 - 4m + 4m^4 - 4m^3)$

$D = 16m^4 - 16m^3 + 4m^2 - 16m^2 + 16m - 16m^4 + 16m^3$

$D = -12m^2 + 16m$

$D = 4m(-3m + 4)$

共有点の個数は、$D$の符号によって決まります。

- $D > 0$のとき、共有点は2個。 $4m(-3m + 4) > 0$ より、 $m(3m - 4) < 0$。 よって、 $0 < m < \frac{4}{3}$

- $D = 0$のとき、共有点は1個。 $4m(-3m + 4) = 0$ より、 $m = 0, \frac{4}{3}$

- $D < 0$のとき、共有点は0個。 $4m(-3m + 4) < 0$ より、 $m < 0, m > \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

- $0 < m < \frac{4}{3}$のとき、共有点は2個

- $m = 0, \frac{4}{3}$のとき、共有点は1個

- $m < 0, m > \frac{4}{3}$のとき、共有点は0個