(1) 3点 P(0, 3), Q(1, -1), R(4, -1) を通る円の方程式、中心の座標、および半径を求める。 (2) 原点中心、半径5の円上の点 A(-3, 4) における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点 P(0, 3), Q(1, -1), R(4, -1) を通る円の方程式、中心の座標、および半径を求める。

(2) 原点中心、半径5の円上の点 A(-3, 4) における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。3点 P, Q, R を通ることから、それぞれの座標を代入して以下の3つの式を得る。

P(0, 3): $0^2 + 3^2 + a(0) + b(3) + c = 0 \Rightarrow 9 + 3b + c = 0$

Q(1, -1): $1^2 + (-1)^2 + a(1) + b(-1) + c = 0 \Rightarrow 2 + a - b + c = 0$

R(4, -1): $4^2 + (-1)^2 + a(4) + b(-1) + c = 0 \Rightarrow 17 + 4a - b + c = 0$

これらの3つの式から a, b, c を求める。

$9 + 3b + c = 0$ (1)

$2 + a - b + c = 0$ (2)

$17 + 4a - b + c = 0$ (3)

(3) - (2)より、 $15 + 3a = 0 \Rightarrow a = -5$

(2)に $a = -5$ を代入すると、$2 - 5 - b + c = 0 \Rightarrow -3 - b + c = 0$ (4)

(1)より、$9 + 3b + c = 0$ (5)

(5) - (4)より、 $12 + 4b = 0 \Rightarrow b = -3$

(1)に $b = -3$ を代入すると、$9 + 3(-3) + c = 0 \Rightarrow c = 0$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 5x - 3y = 0$ となる。

これを変形して、$(x - \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$

よって、中心の座標は $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ であり、半径は $\sqrt{\frac{17}{2}} = \frac{\sqrt{34}}{2}$ となる。

(2) 原点中心で半径5の円の方程式は $x^2 + y^2 = 25$ である。

点 A(-3, 4) における接線の方程式は、接点の座標を $(x_1, y_1)$ とすると $x_1 x + y_1 y = r^2$ で表される。

この問題では、$(x_1, y_1) = (-3, 4)$ であり、 $r^2 = 25$ であるから、接線の方程式は $-3x + 4y = 25$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 円の方程式: $x^2 + y^2 - 5x - 3y = 0$

中心の座標: $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$

半径: $\frac{\sqrt{34}}{2}$

(2) 接線の方程式: $-3x + 4y = 25$