正方形ABCDの周上を点Pが一周するとき、円盤Pの通過範囲について、その面積$S(x)$や、円盤Pが正方形ABCDの内部を通過しない条件などを求める問題です。

1. 問題の内容

正方形ABCDの周上を点Pが一周するとき、円盤Pの通過範囲について、その面積$S(x)$や、円盤Pが正方形ABCDの内部を通過しない条件などを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 円盤Aと円盤Dが接するのは、ADの長さが円盤の半径の和と等しいときなので、$x+x=3$。 よって、$x = \frac{3}{2}$のときです。

(2) 太郎さんと花子さんの会話より、正方形の内部に円盤Pが通過しない部分があるのは、$0 < x < \frac{3}{2}$のときです。$\frac{3}{2} \le x < 3$のときは、正方形ABCDの内部はすべて円盤Pの通過範囲に含まれます。

(3) 点Pが正方形ABCDの周上を一周するときの円盤Pの通過範囲の面積$S(x)$を求めます。

- $0 < x < \frac{3}{2}$のとき：

このとき、正方形ABCDの内部は一部が通過しないので、$S(x) = (\pi - 4)x^2 + 12x$となります。

- $\frac{3}{2} \le x < 3$のとき：

このとき、正方形ABCDの内部はすべて通過するので、$S(x) = (\pi - 0)x^2 + 9$となります。

(4) $S(x)$を最大にする$x$の値を求めます。

- $0 < x < \frac{3}{2}$のとき：$S(x) = (\pi - 4)x^2 + 12x$を微分すると、$S'(x) = 2(\pi - 4)x + 12$。

- $\frac{3}{2} \le x < 3$のとき：$S(x) = \pi x^2 + 9$を微分すると、$S'(x) = 2\pi x$。

$S(x)$が最大になるのは、$x = \frac{3}{2}$の前後で$S'(x)$の符号が変わる場合です。

$x = \frac{3}{2}$のとき、

$S(\frac{3}{2}) = (\pi-4)(\frac{3}{2})^2+12(\frac{3}{2}) = (\pi-4)\frac{9}{4}+18 = \frac{9\pi}{4}-9+18 = \frac{9\pi}{4}+9$

$S(3) = \pi (3^2)+9 = 9\pi+9$.

$x=\frac{3}{2}$の近傍における$S(x)$は、$x$が大きくなるにつれて$S(x)$は大きくなるので、最大となるのは$x$が$\frac{3}{2} \le x < 3$の範囲です。

$S(x)$を最大にするxの値を$x_0$とする。

$0< x < \frac{3}{2}$の場合、

$S'(x) = 2(\pi - 4)x + 12 = 0$とすると、$x = -\frac{6}{\pi - 4}$となり、範囲外。

$\frac{3}{2} \le x < 3$の場合、$S(x) = \pi x^2 + 9$より、$x$が大きいほど$S(x)$も大きくなるので、$x_0$は3に近い値。

$S(x) = \pi x^2+9$は下に凸なので定義域の右端$x=3$の時に最大値をとる。

したがって、$x_0 = 3$に近い値をとりますが、$x <3$なので条件を満たす$x$はありません。

しかし、$0< x < \frac{3}{2}$のときに最大となる可能性があるので計算すると、

$x=\frac{-12}{2\pi-8}=\frac{6}{4-\pi} \approx \frac{6}{4-3.14}=\frac{6}{0.86} = 6.98$これは範囲外なので、

$\frac{3}{2} \le x < 3$で、$x$が大きいほど$S(x)$は大きくなる。

しかし、$S(3)$は定義されない。

なので、スから、$x_0$の値は存在しません。

(5) $0 < x < 3$かつ$S(x) = 27$を満たす$x$の値を求めます。

- $0 < x < \frac{3}{2}$のとき: $(\pi - 4)x^2 + 12x = 27$。$(\pi - 4)x^2 + 12x - 27 = 0$。

- $\frac{3}{2} \le x < 3$のとき: $\pi x^2 + 9 = 27$。$\pi x^2 = 18$。$x^2 = \frac{18}{\pi}$。$x = \sqrt{\frac{18}{\pi}} = 3\sqrt{\frac{2}{\pi}} \approx 3 \times 0.8 = 2.4 > 3/2$。

$x = 3\sqrt{\frac{2}{\pi}}$は$\frac{3}{2} \le x < 3$を満たす。

したがって、$x = 3\sqrt{\frac{2}{\pi}}$は1つ存在する。

3. 最終的な答え

- $\frac{3}{2}$

- $\frac{3}{2}$

- 4

- 12

- 0

- 9

- ス: 存在しない

- セ: 1