正方形ABCDの辺の長さを3とし、点Pが正方形ABCDの辺上を一周するとき、円盤Pが通過する範囲の面積S(x)を求める問題。特に、0 < x < 3の範囲において、S(x)を最大にするxの値と、S(x) = π - 2を満たすxの値を求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDの辺の長さを3とし、点Pが正方形ABCDの辺上を一周するとき、円盤Pが通過する範囲の面積S(x)を求める問題。特に、0 < x < 3の範囲において、S(x)を最大にするxの値と、S(x) = π - 2を満たすxの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、文中の空欄を埋める。

- 円盤Aと円盤Dが接するのは、ADの長さが二つの円盤の半径の和と等しいときである。正方形ABCDの辺の長さは3なので、3 = x + x より $x = \frac{3}{2}$。よって、エには3/2が入る。

- 花子さんの発言について。正方形ABCDの内部に円盤Pが通過しない部分があるのは $0 < x < \frac{3}{2}$のときである。逆に、$\frac{3}{2} \leq x < 3$のとき、正方形ABCDの内部はすべて円盤Pの通過範囲に含まれる。よって、オには3/2が入る。

- 0 < x < 3/2のとき、円盤Pが通過する範囲の面積S(x)は、正方形の面積から、四隅の円弧部分（半径xの四分円4つ分、つまり半径xの円1つ分）を除いたものに、正方形の辺に沿った長方形4つ分(3*2x)を加えたものと等しい。

$S(x) = 3^2 - \pi x^2 + 4(3*x) = 9 - \pi x^2 + 12x = -\pi x^2 + 12x + 9$

よって、カキにはそれぞれ1と2が入り、クケにはそれぞれ1と2が、コには9が入る。

- 3/2 <= x < 3のとき、円盤Pが通過する範囲の面積S(x)は正方形の面積に、各辺に沿った幅xの長方形4つ分(2x)を足した物から正方形の四隅部分の円(半径xの四分円4つ分)を足したものとなる。

$S(x) = \pi x^2 + 4(3*x) = \pi*x^{2}$

- S(x)を最大にするxの値を求める。0 < x < 3/2のとき、S(x) = $-\pi x^2 + 12x + 9$は上に凸の二次関数であり、軸は $x = -\frac{12}{2(-\pi)} = \frac{6}{\pi} \approx 1.91$である。$\frac{3}{2} = 1.5 < \frac{6}{\pi}$であるため、S(x)を最大にするxの値は$\frac{6}{\pi}$ではない。$0 < x < \frac{3}{2}$の範囲で最大になるのはx = 3/2の時なので、$S(\frac{3}{2}) = -\pi (\frac{3}{2})^2 + 12 (\frac{3}{2}) + 9 = -\frac{9}{4}\pi + 18 + 9 = -\frac{9}{4}\pi + 27$となる。

$\frac{3}{2} <= x < 3$のときS(x) = $\pi x^2$は単調増加する。x = 3/2の時、 $S(\frac{3}{2}) = \pi (\frac{3}{2})^2 = \pi \frac{9}{4} \approx 7.07$ となる。 x = 3の時$S(3) = \pi 3^2 = 9 \pi \approx 28.3$となる。

よって、$S(\frac{3}{2}) < S(3)$であるため、S(x)を最大にするxの値は$x = 3$である。よって、スには3が入る。

- S(x) = π - 2を満たすxの値を求める。0 < x < 3/2のとき、$S(x) = -\pi x^2 + 12x + 9 = \pi - 2$。

$\pi x^2 - 12x - 11 + \pi = 0$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4\pi(\pi - 11)}}{2\pi}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4\pi^2 + 44\pi}}{2\pi}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - \pi^2 + 11\pi}}{\pi}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 11\pi - \pi^2}}{\pi}$

この内、$0 < x < \frac{3}{2}$を満たすものは存在しない。

$\frac{3}{2} \leq x < 3$のとき、$S(x) = \pi x^2 = \pi - 2$より、$x^2 = 1 - \frac{2}{\pi}$。

$x = \sqrt{1 - \frac{2}{\pi}} \approx \sqrt{1-0.637} = \sqrt{0.363} \approx 0.6$。これは$\frac{3}{2} \leq x < 3$の範囲を満たさない。

したがって、$S(x) = \pi-2$ を満たす$x$はない。

3. 最終的な答え

エ: 3/2

オ: 3/2

カキ: 12

クケ: 12

コ: 9

ス: 3

セ: 解なし