正方形ABCDの周上を点Pが一周するとき、点Pを中心とする半径xの円盤Pの通過範囲について考える。 (1) 円盤Aと円盤Dが接するとき、$x$ の値を求める。 (2) 正方形ABCDの内部に円盤Pが通過しない部分があるのは、$x$ がどのような範囲のときかを求める。 また、正方形ABCDの内部がすべて円盤Pの通過範囲に含まれるのは、$x$ がどのような範囲のときかを求める。 (3) 点Pが正方形ABCDの周りを一周するとき、円盤Pの通過範囲の面積を$S(x)$ とすると、$0<x<\frac{3}{2}$ のときと、$\frac{3}{2} \le x<3$ のときについて、$S(x)$ をそれぞれ$x$ の式で表す。 最後に、$S(x)$ を最大にする $x$ の値を求め、$0<x<3$ かつ $S(x)=27$ を満たす $x$ の値を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

正方形ABCDの周上を点Pが一周するとき、点Pを中心とする半径xの円盤Pの通過範囲について考える。

(1) 円盤Aと円盤Dが接するとき、$x$ の値を求める。

(2) 正方形ABCDの内部に円盤Pが通過しない部分があるのは、$x$ がどのような範囲のときかを求める。

また、正方形ABCDの内部がすべて円盤Pの通過範囲に含まれるのは、$x$ がどのような範囲のときかを求める。

(3) 点Pが正方形ABCDの周りを一周するとき、円盤Pの通過範囲の面積を$S(x)$ とすると、$0<x<\frac{3}{2}$ のときと、$\frac{3}{2} \le x<3$ のときについて、$S(x)$ をそれぞれ$x$ の式で表す。

最後に、$S(x)$ を最大にする $x$ の値を求め、$0<x<3$ かつ $S(x)=27$ を満たす $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円盤Aと円盤Dが接するのは、辺ADの長さが二つの円盤の半径の和と等しいときである。正方形ABCDの一辺の長さは3であるから、

$x + x = 3$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

(2) 正方形ABCDの内部に円盤Pが通過しない部分があるのは、$0<x<\frac{3}{2}$ のときである。

正方形ABCDの内部がすべて円盤Pの通過範囲に含まれるのは、$\frac{3}{2} \le x<3$ のときである。

(3) $0<x<\frac{3}{2}$ のとき、

円盤が通過する範囲は、正方形の周に沿った部分と、正方形の内部の四隅にできる半径xの四分円4つ分である。

正方形の周に沿った部分は、正方形の周の長さ12に幅2xの長方形4つ分の面積と、四隅の四分円の面積の和から、正方形の面積を引いたものと考えることができる。

四隅の四分円を合わせると、半径xの円となるので、面積は $\pi x^2$ である。

したがって、

$S(x) = 12(2x) - (3*3) + \pi x^2 = \pi x^2 + 24x - 9$

$S(x) = \pi x^2+24x -9$

$\frac{3}{2} \le x<3$ のとき、

正方形の内部はすべて通過範囲に含まれるので、

正方形の周に沿った部分は、正方形の周の長さ12に幅2xの長方形4つ分の面積と、四隅の四分円の面積の和と考えることができる。

四隅の四分円を合わせると、半径xの円となるので、面積は $\pi x^2$ である。

正方形の面積は$3*3=9$である。

$S(x) = \pi x^2+12(2x) + 9$

$S(x) = \pi x^2+24x + 9$

$S(x)$を最大にする $x$ の値は、$\frac{3}{2} \le x<3$ のとき、$S(x)$は増加関数であるため、$x$が3に近いほど$S(x)$は大きくなる。

したがって、 $x$は存在しない。

$0<x<3$ かつ $S(x)=27$ を満たす $x$ の値は、

$0<x<\frac{3}{2}$ のとき、

$\pi x^2+24x -9=27$

$\pi x^2+24x -36=0$

$x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4\pi(-36)}}{2\pi} = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 144\pi}}{2\pi} = \frac{-24 \pm 12\sqrt{4+\pi}}{2\pi} = \frac{-12 \pm 6\sqrt{4+\pi}}{\pi}$

$x>0$ より、

$x = \frac{-12 + 6\sqrt{4+\pi}}{\pi}$

$\frac{3}{2} \le x<3$ のとき、

$\pi x^2+24x + 9=27$

$\pi x^2+24x - 18=0$

$x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4\pi(-18)}}{2\pi} = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 72\pi}}{2\pi} = \frac{-24 \pm 6\sqrt{16+2\pi}}{2\pi} = \frac{-12 \pm 3\sqrt{16+2\pi}}{\pi}$

$x>0$ より、

$x = \frac{-12 + 3\sqrt{16+2\pi}}{\pi}$

$\pi \approx 3.14$ なので、 $x \approx \frac{-12 + 3\sqrt{16+6.28}}{\pi} \approx \frac{-12 + 3\sqrt{22.28}}{\pi} \approx \frac{-12 + 3(4.72)}{\pi} \approx \frac{-12 + 14.16}{3.14} \approx \frac{2.16}{3.14} \approx 0.69$

これは、$\frac{3}{2} \le x<3$ の範囲を満たさない。

したがって、$x = \frac{-12 + 6\sqrt{4+\pi}}{\pi}$

3. 最終的な答え

円盤Aと円盤Dが接するとき $x = \frac{3}{2}$ である。

正方形ABCDの内部に円盤Pが通過しない部分があるのは、$0<x<\frac{3}{2}$ のときである。

正方形ABCDの内部がすべて円盤Pの通過範囲に含まれるのは、$\frac{3}{2} \le x<3$ のときである。

$0<x<\frac{3}{2}$ のとき $S(x) = \pi x^2+24x -9$

$\frac{3}{2} \le x<3$ のとき $S(x) = \pi x^2+24x + 9$

$S(x)$を最大にする $x$ の値は存在しない。

$0<x<3$ かつ $S(x)=27$ を満たす $x$ の値は $\frac{-12 + 6\sqrt{4+\pi}}{\pi}$ である。