円に関する角度を求める問題です。4つの図それぞれに対して、指定された角度 $x$ の大きさを求めます。

1. 問題の内容

円に関する角度を求める問題です。4つの図それぞれに対して、指定された角度 $x$ の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心角と円周角の関係を利用します。中心角は円周角の2倍なので、$x$ は中心角の半分になります。

(2) 円周角の定理と、同じ弧に対する円周角は等しいことを利用します。四角形ABCDの円周角の関係を利用します。

(3) 二等辺三角形の性質と円周角の定理を利用します。

(4) 円周角の定理と、同じ弧に対する円周角は等しいことを利用します。

(1)

中心角 $\angle AOC$ は $68^\circ$ です。円周角 $\angle ABC$ は中心角の半分なので、

$$$$

x = \frac{68}{2} = 34

$$$$

(2)

$\angle BAC = x$ を求めます。

$\angle BDC = \angle BAC = x$ （同じ弧BCに対する円周角）

$\angle BCD = 25^\circ$

$\angle DFE = 28^\circ$

$\angle DAE = \angle DFE = 28^\circ$（同じ弧DEに対する円周角）

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$

$\angle ADE = \angle ADC - \angle CDE = 155^\circ - 28^\circ = 127^\circ$

四角形ABCDにおいて、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ - x + 25^\circ$

$25^\circ + x + 28^\circ = 180^\circ - x +25$

$x = 180^\circ - (25^\circ + 28^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$

$x + 25 + 28 = \frac{180^\circ - x}{2}$

$\angle ACB = 25^\circ$, $\angle AEF = 28^\circ$. Then $\angle ADB = 25^\circ$ and $\angle CAD = 28^\circ$ since they subtend the same arcs.

Therefore, $x = \angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 25^\circ$. But $\angle BFC = \angle BEC$ and $\angle CDF = 25$, $\angle CAF = 28$

$\angle CAD = 28^\circ$ (弧CDに対する円周角)

$\angle ABD = \angle ACD$

$x = \angle BAC$, $\angle ABC = 25^\circ$

$\angle AFD = 28^\circ$

$\angle CAD = 28^\circ$, then $\angle ADC = 180-43 = 137^\circ$. Therefore $x = 25 +28 = 53^\circ$

(3)

$\angle BAC = 35^\circ$です。円の中心をOとすると、$\angle BOC = 2 \times 35 = 70^\circ$

$\triangle BOC$ は $BO = CO$ の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180 - 70}{2} = \frac{110}{2} = 55^\circ$

$x = \angle ACB = 55^\circ$

(4)

$\angle DAC = 43^\circ$ なので、$\angle DBC = 43^\circ$ (弧DCに対する円周角)

$\angle DOC = 2 \times \angle DAC = 86^\circ$

$\angle BAC = \angle BDC = 43^\circ$

$x = \angle ABC$ を求める。

$\angle ADB = \angle ACB$.

$x = 47^{\circ}$.

3. 最終的な答え

(1) $x = 34^\circ$

(2) $x = 53^\circ$

(3) $x = 55^\circ$

(4) $x = 47^\circ$