$AB=8, BC=7, CA=6$ である $\triangle ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$ を $AD=t$ ($0 < t < 8$) を満たすようにとったところ、$\triangle BCD$ の外接円と辺 $AC$ （両端を除く）が点 $E$ で交わった。直線 $BC$ と直線 $DE$ との交点を $F$ とする。このとき、方べきの定理より $AE = \frac{\text{ア}}{\text{イ}}t$ であり、$0 < AE < AC$ であるから $0 < t < \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}$ である。ア、イ、ウ、エに当てはまる数字を答えよ。

1. 問題の内容

$AB=8, BC=7, CA=6$ である $\triangle ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$ を $AD=t$ ($0 < t < 8$) を満たすようにとったところ、$\triangle BCD$ の外接円と辺 $AC$ （両端を除く）が点 $E$ で交わった。直線 $BC$ と直線 $DE$ との交点を $F$ とする。このとき、方べきの定理より $AE = \frac{\text{ア}}{\text{イ}}t$ であり、$0 < AE < AC$ であるから $0 < t < \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}$ である。ア、イ、ウ、エに当てはまる数字を答えよ。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理を用いて $AE$ を $t$ で表す。

点 $A$ に関して、$\triangle BCD$ の外接円に対する方べきの定理を適用すると、

$AD \cdot AB = AE \cdot AC$

が成り立つ。

これに、$AD = t, AB = 8, AC = 6$ を代入すると、

$8t = 6AE$

よって、

$AE = \frac{8}{6}t = \frac{4}{3}t$

したがって、ア $= 4$, イ $= 3$ となる。

次に、$0 < AE < AC$ であるから、

$0 < \frac{4}{3}t < 6$

$0 < t < \frac{18}{4}$

$0 < t < \frac{9}{2}$

したがって、ウ $= 9$, エ $= 2$ となる。

3. 最終的な答え

ア = 4

イ = 3

ウ = 9

エ = 2