媒質Aから媒質Bへ平面波が伝わる時、波面が境界面となす角度が$45^\circ$から$30^\circ$に変化します。媒質Aでの波の速さは$2.0 \ m/s$です。 (1) 媒質A, Bの中で,それぞれ点Pを通る波の進む向きを図中に書き入れます。 (2) 媒質Aに対する媒質Bの屈折率 $n_{AB}$ を求めます。 (3) 媒質Bでの波の速さ $v_B \ [m/s]$を求めます。 (4) この波の振動数が$5.0 \ Hz$であるとき, 媒質Aでの波の波長 $\lambda_A \ [m]$と媒質Bでの波の波長 $\lambda_B \ [m]$を求めます。

1. 問題の内容

媒質Aから媒質Bへ平面波が伝わる時、波面が境界面となす角度が$45^\circ$から$30^\circ$に変化します。媒質Aでの波の速さは$2.0 \ m/s$です。

(1) 媒質A, Bの中で,それぞれ点Pを通る波の進む向きを図中に書き入れます。

(2) 媒質Aに対する媒質Bの屈折率 $n_{AB}$ を求めます。

(3) 媒質Bでの波の速さ $v_B \ [m/s]$を求めます。

(4) この波の振動数が$5.0 \ Hz$であるとき, 媒質Aでの波の波長 $\lambda_A \ [m]$と媒質Bでの波の波長 $\lambda_B \ [m]$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 波の進む向きは、波面に垂直な方向です。媒質A, Bそれぞれの波面に垂直な方向を、点Pを通るように図中に書き込みます。

(2) 屈折の法則より、媒質A, Bにおける入射角をそれぞれ$\theta_A$, $\theta_B$とすると、

$\frac{\sin \theta_A}{\sin \theta_B} = n_{AB}$

が成り立ちます。

問題文より、波面と境界面のなす角が与えられているので、入射角はそれぞれ$90^\circ$からその角度を引いたものになります。

よって、$\theta_A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$, $\theta_B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

したがって、

$n_{AB} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) 屈折率 $n_{AB}$ は、媒質Aでの波の速さ $v_A$ と媒質Bでの波の速さ $v_B$ を用いて、

$n_{AB} = \frac{v_A}{v_B}$

と表すことができます。

問題文より、$v_A = 2.0 \ m/s$なので、

$v_B = \frac{v_A}{n_{AB}} = \frac{2.0}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \approx 2.45 \ m/s$

(4) 波の基本式 $v = f \lambda$ より、波長 $\lambda$ は、

$\lambda = \frac{v}{f}$

で表されます。

媒質Aでの波長 $\lambda_A$ は、

$\lambda_A = \frac{v_A}{f} = \frac{2.0}{5.0} = 0.40 \ m$

媒質Bでの波長 $\lambda_B$ は、

$\lambda_B = \frac{v_B}{f} = \frac{\sqrt{6}}{5.0} \approx \frac{2.45}{5.0} = 0.49 \ m$

3. 最終的な答え

(2) $n_{AB} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $v_B = \sqrt{6} \ m/s \approx 2.45 \ m/s$

(4) $\lambda_A = 0.40 \ m$

$\lambda_B = \frac{\sqrt{6}}{5} \ m \approx 0.49 \ m$