与えられた式を展開したとき、指定された項の係数を求める問題です。 (1) $(x^2+x+1)(2x+3)$ の展開式における $x$ の項と $x^2$ の項の係数を求めます。 (2) $(2x^2-3xy-y^2)(3x^2-2xy+y^2)$ の展開式における $x^3y$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式を展開したとき、指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(x^2+x+1)(2x+3)$ の展開式における $x$ の項と $x^2$ の項の係数を求めます。

(2) $(2x^2-3xy-y^2)(3x^2-2xy+y^2)$ の展開式における $x^3y$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2+x+1)(2x+3)$ を展開し、$x$ と $x^2$ の項を抽出します。

- $x$ の項: $x \cdot 3 + 1 \cdot 2x = 3x + 2x = 5x$

- $x^2$ の項: $x^2 \cdot 3 + x \cdot 2x + 1 \cdot 0 = 3x^2 + 2x^2 = 5x^2$

(2) $(2x^2-3xy-y^2)(3x^2-2xy+y^2)$ を展開し、$x^3y$ の項を抽出します。

- $2x^2 \cdot (-2xy) = -4x^3y$

- $-3xy \cdot 3x^2 = -9x^3y$

- $-y^2 \cdot 0 = 0$

- よって、$x^3y$ の項は $-4x^3y -9x^3y = -13x^3y$

3. 最終的な答え

(1) $x$ の項の係数は $5$, $x^2$ の項の係数は $5$。

(2) $x^3y$ の項の係数は $-13$。