与えられた条件を満たす等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、公比は実数とします。 (1) 第5項が-9, 第7項が-27 (2) 第2項が3, 第5項が24

はい、承知いたしました。与えられた問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、公比は実数とします。

(1) 第5項が-9, 第7項が-27

(2) 第2項が3, 第5項が24

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比です。

与えられた条件から、

$a_5 = a_1 r^{5-1} = a_1 r^4 = -9$

$a_7 = a_1 r^{7-1} = a_1 r^6 = -27$

これらの式から $a_1$ と $r$ を求めます。

$a_1 r^6 = -27$ を $a_1 r^4 = -9$ で割ると、

$\frac{a_1 r^6}{a_1 r^4} = \frac{-27}{-9}$

$r^2 = 3$

$r = \pm \sqrt{3}$

$r = \sqrt{3}$ のとき、$a_1 (\sqrt{3})^4 = a_1 (9) = -9$ より $a_1 = -1$

$r = -\sqrt{3}$ のとき、$a_1 (-\sqrt{3})^4 = a_1 (9) = -9$ より $a_1 = -1$

したがって、$a_n = -1 (\sqrt{3})^{n-1}$ または $a_n = -1 (-\sqrt{3})^{n-1}$

(2) 同様に、

$a_2 = a_1 r^{2-1} = a_1 r = 3$

$a_5 = a_1 r^{5-1} = a_1 r^4 = 24$

これらの式から $a_1$ と $r$ を求めます。

$a_1 r^4 = 24$ を $a_1 r = 3$ で割ると、

$\frac{a_1 r^4}{a_1 r} = \frac{24}{3}$

$r^3 = 8$

$r = 2$

$a_1 (2) = 3$ より $a_1 = \frac{3}{2}$

したがって、$a_n = \frac{3}{2} (2)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -(\sqrt{3})^{n-1}$ または $a_n = -(-\sqrt{3})^{n-1}$

(2) $a_n = \frac{3}{2} \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-2}$