濃度10%の食塩水340gに食塩を加えて、濃度を15%以上20%以下にしたい。加える食塩の量の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

濃度10%の食塩水340gに食塩を加えて、濃度を15%以上20%以下にしたい。加える食塩の量の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

加える食塩の量を $x$ gとする。

10%の食塩水に含まれる食塩の量は、$340 \times 0.1 = 34$ gである。

食塩を加えた後の食塩水の量は、$340 + x$ g、食塩の量は$34 + x$ gとなる。

濃度は $\frac{食塩の量}{食塩水の量}$ で計算される。

濃度が15%以上となる条件は、

$\frac{34 + x}{340 + x} \geq 0.15$

濃度が20%以下となる条件は、

$\frac{34 + x}{340 + x} \leq 0.20$

これらの不等式を解く。

まず、$\frac{34 + x}{340 + x} \geq 0.15$ を解く。

$34 + x \geq 0.15(340 + x)$

$34 + x \geq 51 + 0.15x$

$0.85x \geq 17$

$x \geq \frac{17}{0.85} = 20$

次に、$\frac{34 + x}{340 + x} \leq 0.20$ を解く。

$34 + x \leq 0.20(340 + x)$

$34 + x \leq 68 + 0.20x$

$0.80x \leq 34$

$x \leq \frac{34}{0.8} = 42.5$

したがって、$20 \leq x \leq 42.5$ となる。

3. 最終的な答え

加える食塩の量の範囲は、20g以上42.5g以下である。