与えられた式 $(a^2+3a+5)(2a^2-5a-1)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a^2+3a+5)(2a^2-5a-1)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

多項式の展開は、分配法則を用いてすべての項を掛け合わせ、同類項をまとめることで行います。

まず、$a^2$ を $(2a^2-5a-1)$ の各項に掛けます。

$a^2(2a^2 - 5a - 1) = 2a^4 - 5a^3 - a^2$

次に、$3a$ を $(2a^2-5a-1)$ の各項に掛けます。

$3a(2a^2 - 5a - 1) = 6a^3 - 15a^2 - 3a$

最後に、$5$ を $(2a^2-5a-1)$ の各項に掛けます。

$5(2a^2 - 5a - 1) = 10a^2 - 25a - 5$

上記の3つの結果を全て足し合わせます。

$(2a^4 - 5a^3 - a^2) + (6a^3 - 15a^2 - 3a) + (10a^2 - 25a - 5)$

$= 2a^4 + (-5a^3 + 6a^3) + (-a^2 - 15a^2 + 10a^2) + (-3a - 25a) - 5$

$= 2a^4 + a^3 - 6a^2 - 28a - 5$

3. 最終的な答え

$2a^4 + a^3 - 6a^2 - 28a - 5$