与えられた式 $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ の形の式を簡単にすることを考える。

この式が $\sqrt{(x-y)^2}$ の形に変形できる場合、$x-y$の絶対値としてルートを外すことができる。

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ であるから、

$x^2+y^2 = 11$ かつ $2xy = 6\sqrt{2}$、つまり $xy = 3\sqrt{2}$ となる $x, y$ を探す。

$xy = 3\sqrt{2}$ なので $x = 3$, $y = \sqrt{2}$ と仮定すると、

$x^2+y^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9+2 = 11$

となり条件を満たす。

したがって、$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} = |3-\sqrt{2}|$

ここで、$3>\sqrt{2}$なので、$|3-\sqrt{2}| = 3-\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

$3-\sqrt{2}$