第2項が3で、初項から第3項までの和が13である等比数列の初項と公比を求める。

1. 問題の内容

第2項が3で、初項から第3項までの和が13である等比数列の初項と公比を求める。

2. 解き方の手順

初項を$a$、公比を$r$とすると、等比数列の第$n$項は$ar^{n-1}$で表される。

問題文より、

第2項は3なので、

$ar = 3$ ...(1)

初項から第3項までの和が13なので、

$a + ar + ar^2 = 13$ ...(2)

(1)より$a = \frac{3}{r}$なので、これを(2)に代入すると、

$\frac{3}{r} + 3 + 3r = 13$

両辺に$r$をかけると、

$3 + 3r + 3r^2 = 13r$

$3r^2 - 10r + 3 = 0$

$(3r - 1)(r - 3) = 0$

したがって、$r = \frac{1}{3}, 3$

$r = \frac{1}{3}$のとき、$a = \frac{3}{r} = \frac{3}{\frac{1}{3}} = 9$

$r = 3$のとき、$a = \frac{3}{r} = \frac{3}{3} = 1$

3. 最終的な答え

初項9、公比1/3　または　初項1、公比3