与えられた式 $x^2 + 3ax - 9a - 9$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 3ax - 9a - 9$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$x^2 + 3ax - 9(a + 1)$

次に、因数分解できる形を探します。$x^2 + (m+n)x + mn = (x+m)(x+n)$ の形を目指します。

今回は、$x$ の項に $3a$ が含まれています。また、定数項は $-9(a+1)$ です。

因数分解後の形を $(x+p)(x+q)$ とすると、$p+q = 3a$ かつ $pq = -9(a+1)$ となる $p$ と $q$ を探す必要があります。

$x^2 + 3ax - 9a - 9 = x^2 + 3ax - 9(a+1)$

ここで、定数項に注目すると、$-9(a+1) = -3 \cdot 3(a+1)$ と分解できます。

$p = 3$、$q = -3(a+1)$ とすると、

$p + q = 3 - 3(a+1) = 3 - 3a - 3 = -3a$ となり、これは $3a$ ではありません。

$p = -3$、$q = 3(a+1)$ とすると、

$p + q = -3 + 3(a+1) = -3 + 3a + 3 = 3a$

$pq = -3 \cdot 3(a+1) = -9(a+1)$

したがって、$p = -3$、$q = 3(a+1)$ が条件を満たします。

よって、因数分解は $(x-3)(x+3(a+1))$ となります。

$(x-3)(x+3a+3)$

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+3a+3)$