$\frac{2}{3} < x < \frac{3}{4}$ のとき、$\sqrt{9x^2 - 12x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{16x^2 - 24x + 9}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\frac{2}{3} < x < \frac{3}{4}$ のとき、$\sqrt{9x^2 - 12x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{16x^2 - 24x + 9}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、根号の中を因数分解します。

$\sqrt{9x^2 - 12x + 4} = \sqrt{(3x - 2)^2} = |3x - 2|$

$\sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x + 2)^2} = |x + 2|$

$\sqrt{16x^2 - 24x + 9} = \sqrt{(4x - 3)^2} = |4x - 3|$

したがって、与えられた式は

$|3x - 2| + |x + 2| - |4x - 3|$

となります。

ここで、$\frac{2}{3} < x < \frac{3}{4}$ という条件を利用して、絶対値の中身の符号を調べます。

$\frac{2}{3} < x$ より $2 < 3x$ なので $3x - 2 > 0$。 よって $|3x - 2| = 3x - 2$。

$x > -\frac{2}{3}$より$x + 2 > 0$ なので $|x + 2| = x + 2$

$x < \frac{3}{4}$ より $4x < 3$ なので $4x - 3 < 0$。 よって $|4x - 3| = -(4x - 3) = 3 - 4x$

したがって

$|3x - 2| + |x + 2| - |4x - 3| = (3x - 2) + (x + 2) - (3 - 4x) = 3x - 2 + x + 2 - 3 + 4x = 8x - 3$

3. 最終的な答え

$8x - 3$