以下の6つの式を因数分解する問題です。 (1) $9x^2 - 25$ (2) $100 - a^2$ (3) $36a^2 - 25b^2$ (4) $18x^2 - 32y^2$ (5) $6a^3b - 24ab^3$ (6) $x^2 - (y-1)^2$

1. 問題の内容

以下の6つの式を因数分解する問題です。

(1) $9x^2 - 25$

(2) $100 - a^2$

(3) $36a^2 - 25b^2$

(4) $18x^2 - 32y^2$

(5) $6a^3b - 24ab^3$

(6) $x^2 - (y-1)^2$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で因数分解を行います。

(1) $9x^2 - 25$

これは、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形の因数分解を利用します。

$9x^2 = (3x)^2$ であり、$25 = 5^2$ なので、

$9x^2 - 25 = (3x + 5)(3x - 5)$

(2) $100 - a^2$

これも、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形の因数分解を利用します。

$100 = 10^2$ なので、

$100 - a^2 = (10 + a)(10 - a)$

(3) $36a^2 - 25b^2$

これも、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形の因数分解を利用します。

$36a^2 = (6a)^2$ であり、$25b^2 = (5b)^2$ なので、

$36a^2 - 25b^2 = (6a + 5b)(6a - 5b)$

(4) $18x^2 - 32y^2$

まず、共通因数である2をくくり出します。

$18x^2 - 32y^2 = 2(9x^2 - 16y^2)$

次に、$9x^2 - 16y^2$ に対して、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形の因数分解を利用します。

$9x^2 = (3x)^2$ であり、$16y^2 = (4y)^2$ なので、

$2(9x^2 - 16y^2) = 2(3x + 4y)(3x - 4y)$

(5) $6a^3b - 24ab^3$

まず、共通因数である$6ab$をくくり出します。

$6a^3b - 24ab^3 = 6ab(a^2 - 4b^2)$

次に、$a^2 - 4b^2$ に対して、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形の因数分解を利用します。

$4b^2 = (2b)^2$ なので、

$6ab(a^2 - 4b^2) = 6ab(a + 2b)(a - 2b)$

(6) $x^2 - (y-1)^2$

これも、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形の因数分解を利用します。

$A = x$、$B = y - 1$ とすると、

$x^2 - (y-1)^2 = (x + (y-1))(x - (y-1)) = (x + y - 1)(x - y + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(3x + 5)(3x - 5)$

(2) $(10 + a)(10 - a)$

(3) $(6a + 5b)(6a - 5b)$

(4) $2(3x + 4y)(3x - 4y)$

(5) $6ab(a + 2b)(a - 2b)$

(6) $(x + y - 1)(x - y + 1)$