分数 $F = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、空欄を埋める問題です。$A = \sqrt{2} + \sqrt{3}$、 $B = \sqrt{5}$ とおきます。

1. 問題の内容

分数 $F = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、空欄を埋める問題です。$A = \sqrt{2} + \sqrt{3}$、 $B = \sqrt{5}$ とおきます。

2. 解き方の手順

まず、分母と分子を $A$ と $B$ で表します。

分母: $\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} = A - B$

分子: $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} = A + B$

したがって、最初の空欄「ア」は $A - B$、次の空欄「イ」は $A + B$ となります。

次に、$F = \frac{A + B}{A - B}$ の分母と分子に $A + B$ をかけます。

$F = \frac{(A + B)(A + B)}{(A - B)(A + B)} = \frac{(A + B)^2}{A^2 - B^2} = \frac{A^2 + 2AB + B^2}{A^2 - B^2}$

したがって、次の空欄「ウ」は $2$ となります。

最後に、計算を行います。

$A^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$

$B^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

$AB = (\sqrt{2} + \sqrt{3})\sqrt{5} = \sqrt{10} + \sqrt{15}$

$A^2 - B^2 = (5 + 2\sqrt{6}) - 5 = 2\sqrt{6}$

$A^2 + 2AB + B^2 = (5 + 2\sqrt{6}) + 2(\sqrt{10} + \sqrt{15}) + 5 = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

$F = \frac{10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}}{2\sqrt{6}} = \frac{5 + \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{15}}{\sqrt{6}}$

さらに分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{6}$ をかけます。

$F = \frac{(5 + \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{15})\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6} + 6 + \sqrt{60} + \sqrt{90}}{6} = \frac{5\sqrt{6} + 6 + 2\sqrt{15} + 3\sqrt{10}}{6}$

3. 最終的な答え

ア: $A - B$

イ: $A + B$

ウ: $2$

エ: $\frac{5\sqrt{6} + 6 + 3\sqrt{10} + 2\sqrt{15}}{6}$