分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ です。

1. 問題の内容

分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母と分子に $\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ の共役な複素数である $\sqrt{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{5})}$

$= \frac{(\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{5}))(\sqrt{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{5}))}{(\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{5}))(\sqrt{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{5}))}$

$= \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})}$

分母を計算します。$(\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{5}))(\sqrt{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{5})) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = 2 - (3 + 2\sqrt{15} + 5) = 2 - 8 - 2\sqrt{15} = -6 - 2\sqrt{15}$.

分子を計算します。 $(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}) = ((\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{5})((\sqrt{2}-\sqrt{3})-\sqrt{5}) = (\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = (2 - 2\sqrt{6} + 3) - 5 = 5 - 2\sqrt{6} - 5 = -2\sqrt{6}$.

したがって、

$\frac{-2\sqrt{6}}{-6-2\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{15}}$

分母と分子に $3-\sqrt{15}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{6}(3-\sqrt{15})}{(3+\sqrt{15})(3-\sqrt{15})} = \frac{3\sqrt{6}-\sqrt{90}}{9-15} = \frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{-6} = \frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{10})}{-6} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$