$\frac{4}{3 + \sqrt{5}}$ の小数部分を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{4}{3 + \sqrt{5}}$ の小数部分を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。分母の共役な複素数を分子と分母に掛けます。

$\frac{4}{3 + \sqrt{5}} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}$

$\frac{4(3 - \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{4} = 3 - \sqrt{5}$

次に、$3 - \sqrt{5}$ の整数部分を求めます。

$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ を満たします。（$2^2=4 < 5 < 9 = 3^2$ より）

したがって、$-3 < -\sqrt{5} < -2$ です。

$3 - 3 < 3 - \sqrt{5} < 3 - 2$

$0 < 3 - \sqrt{5} < 1$

したがって、$3 - \sqrt{5}$ の整数部分は $0$ です。

$3 - \sqrt{5}$ の小数部分は、$3 - \sqrt{5}$ からその整数部分を引いたものです。

小数部分 = $3 - \sqrt{5} - 0 = 3 - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{5}$