与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について式を整理する。

$2x^2 + (-3y+5)x + (-2y^2+5y-3)$

次に、$x$ のない項（定数項） $-2y^2+5y-3$ を因数分解する。

$-2y^2 + 5y - 3 = -(2y^2 - 5y + 3) = -(2y-3)(y-1)$

よって、$-2y^2+5y-3 = -(2y-3)(y-1) = (3-2y)(y-1)$

与えられた式が $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形に因数分解できると仮定する。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x+y+a)(x-2y+b)$ あるいは、$(x-2y+c)(2x+y+d)$といった形になる可能性がある。

定数項が $-3$ であるから、$ab=-3$ である。

これを考慮して試行錯誤する。

$2x^2-3xy-2y^2+5x+5y-3 = (2x+y-1)(x-2y+3)$ を展開すると

$2x^2 - 4xy + 6x + xy - 2y^2 + 3y - x + 2y - 3 = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$

よって、正しい因数分解である。

3. 最終的な答え

$(2x+y-1)(x-2y+3)$