実数 $x$ が $-1 < x < 4$ を満たすとき、$\sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$ を簡単にしたい。まず、$\sqrt{x^2 - 8x + 16}$ と $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ を絶対値を使って表し、$-1 < x < 4$ のとき、それぞれの絶対値の中身が正か負かを判断し、それを利用して $\sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$ を計算する。

1. 問題の内容

実数 $x$ が $-1 < x < 4$ を満たすとき、$\sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$ を簡単にしたい。まず、$\sqrt{x^2 - 8x + 16}$ と $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ を絶対値を使って表し、$-1 < x < 4$ のとき、それぞれの絶対値の中身が正か負かを判断し、それを利用して $\sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 + 2x + 1}$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、平方根の中身を因数分解します。

$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

よって、

$\sqrt{x^2 - 8x + 16} = \sqrt{(x - 4)^2} = |x - 4|$

$\sqrt{x^2 + 2x + 1} = \sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1|$

$-1 < x < 4$ のとき、$x - 4 < 0$ なので $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$ となります。

$-1 < x < 4$ のとき、$x + 1 > 0$ なので $|x + 1| = x + 1$ となります。

したがって、

$\sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 + 2x + 1} = |x - 4| + |x + 1| = (4 - x) + (x + 1) = 4 - x + x + 1 = 5$

3. 最終的な答え

ア: $|x-4|$

イ: $|x+1|$

ウ: $4-x$

エ: $x+1$

オ: $5$