$x$ についての多項式 $x^3 + ax^2 + 2x + 1$ を $x^2 + x - 2$ で割ったときの余りが $2x + 5$ となるように定数 $a$ の値を求め、そのときの商を求める。

1. 問題の内容

$x$ についての多項式 $x^3 + ax^2 + 2x + 1$ を $x^2 + x - 2$ で割ったときの余りが $2x + 5$ となるように定数 $a$ の値を求め、そのときの商を求める。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の原理より、割られる式 $x^3 + ax^2 + 2x + 1$ は、割る式 $x^2 + x - 2$、商 $q(x)$、余り $2x + 5$ を用いて次のように表すことができる。

$x^3 + ax^2 + 2x + 1 = (x^2 + x - 2)q(x) + 2x + 5$

ここで、$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ と因数分解できる。

$x = 1$ を代入すると、

$1^3 + a(1)^2 + 2(1) + 1 = (1^2 + 1 - 2)q(1) + 2(1) + 5$

$1 + a + 2 + 1 = 0 \cdot q(1) + 2 + 5$

$a + 4 = 7$

$a = 3$

$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 + a(-2)^2 + 2(-2) + 1 = ((-2)^2 + (-2) - 2)q(-2) + 2(-2) + 5$

$-8 + 4a - 4 + 1 = 0 \cdot q(-2) - 4 + 5$

$4a - 11 = 1$

$4a = 12$

$a = 3$

$a = 3$ のとき、

$x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x - 2)q(x) + 2x + 5$

$x^3 + 3x^2 + 2x + 1 - (2x + 5) = (x^2 + x - 2)q(x)$

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x^2 + x - 2)q(x)$

$x^3 + 3x^2 - 4$ を $x^2 + x - 2$ で割ると、商は $x + 2$ である。

よって、$q(x) = x + 2$

3. 最終的な答え

$a = 3$

商：$x+2$